La importancia de las funciones trigonométricas

 

Las funciones o razones trigonométricas son fundamentales en matemáticas, especialmente en la geometría y el análisis matemático. Estas funciones relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Las principales funciones trigonométricas son el seno (sin), el coseno (cos), la tangente (tan), la cotangente (cot), la secante (sec) y la cosecante (csc).

1. Definiciones de las funciones trigonométricas

En un triángulo rectángulo:

• Seno (sin) de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

  $$\sin(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$$

• Coseno (cos) de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

  $$\cos(\theta) = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$$

• Tangente (tan) de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

  $$\tan(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}$$

Las otras tres funciones son recíprocas de las anteriores:

• Cosecante (csc): es la recíproca del seno.

  $$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto opuesto}}$$

• Secante (sec): es la recíproca del coseno.

  $$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto adyacente}}$$

• Cotangente (cot): es la recíproca de la tangente.

  $$\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}}$$

2. El círculo unitario

El círculo unitario es una herramienta fundamental para comprender las funciones trigonométricas. Es un círculo con un radio de 1 unidad centrado en el origen del plano cartesiano.

• En el círculo unitario, cualquier punto $P(x, y)$ en el círculo puede ser descrito por el ángulo $\theta$ que forma con el eje positivo de las $x$.
• El coseno del ángulo $\theta$ es la coordenada $x$ del punto $P$.
• El seno del ángulo $\theta$ es la coordenada $y$ del punto $P$.

Por lo tanto:

$$\cos(\theta) = x \quad \text{y} \quad \sin(\theta) = y$$

3. Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son ciertas para todos los valores de los ángulos involucrados.

• Identidad pitagórica:

  $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$
  

• Identidad de la tangente:

  $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

• Identidades de ángulos complementarios:

  $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta) \quad \text{y} \quad \cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta)$$
  

4. Ejemplos prácticos

• Ejemplo 1: Calcular el seno, coseno y tangente de un ángulo de 30 grados.

  
  
  

  Solo miremos la tabla de arriba, entonces:
  $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

• Ejemplo 2: Altura de un árbol usando tangente.

  Si quieres calcular la altura de un árbol y conoces que el ángulo de elevación desde un punto a 20 metros del árbol es de 45 grados, puedes usar la tangente:

  $$\tan(45^\circ) = \frac{\text{Altura del árbol}}{20}$$
  

  Dado que $\tan (45^{\circ })=\mathrm{1<span\; style="font-family:\; verdana;\; font-size:\; large;">entonces,\; la\; altura\; del\; árbol\; es\; 20\; x\; 1\; =\; 20\; metros.</span>}$

• Ejemplo 3: Resolución de un triángulo rectángulo.

  Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 60 grados y una hipotenusa de 10 metros, se pueden calcular los catetos usando el seno y el coseno:

  • $\sin(60^\circ) = \frac{Cateto \, opuesto}{10}$ $\Rightarrow Cateto \, opuesto = 10 \times \sin(60^\circ) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$
  • $\cos(60^\circ) = \frac{Cateto \, adyacente}{10}$ $\Rightarrow Cateto \, adyacente = 10 \times \cos(60^\circ) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ metros

Estas son las bases de las funciones trigonométricas, y los ejemplos prácticos muestran cómo se aplican en problemas reales.